正規分布 確率計算ツール

正規分布（ガウス分布）は、平均μと標準偏差σの2つのパラメータで形が決まる連続確率分布です。左右対称のベル型カーブが特徴で、自然界・社会現象の多くがこの分布に近似します（身長・テストの点数・測定誤差など）。

正規分布の重要な性質として「68–95–99.7ルール」があります。

• μ ± σ の範囲: 全体の約 68.27% が含まれる
• μ ± 2σ の範囲: 全体の約 95.45% が含まれる
• μ ± 3σ の範囲: 全体の約 99.73% が含まれる

つまり平均から標準偏差3つ分以上離れた値は約0.27%（約370回に1回）しか起きません。この性質は品質管理・リスク評価・統計的検定で広く活用されます。

標準正規分布とは平均μ=0・標準偏差σ=1の正規分布です。任意の正規分布の確率を計算するとき、まずz値（標準化得点）に変換します。

z = (x − μ) / σ

z値は「平均から何標準偏差分離れているか」を表します。

• z = 0：平均値ちょうど
• z = 1：平均より標準偏差1つ分高い（上位約15.9%）
• z = -1：平均より標準偏差1つ分低い（下位約15.9%）
• z = 1.96：上位約2.5%（両側5%検定の境界値）

累積分布関数（CDF）はerf（誤差関数）を使って計算します: P(X≤x) = 0.5 × (1 + erf(z/√2))

品質管理（製造業）

製品の寸法・重量が正規分布に従うと仮定し、規格範囲内に収まる確率を計算します。例：平均100mm・標準偏差0.3mmの部品で99.5〜100.5mmに収まる確率を区間確率で計算します。

偏差値換算

μ=50・σ=10に設定すると偏差値の計算に使えます。例えば偏差値65（境界値a=65）の下側確率は約93.3%で、上位約6.7%に相当します。

統計的仮説検定

片側検定（有意水準5%）の棄却域はz≥1.645、両側検定（有意水準5%）はz≥1.960です。このツールのz値モードで確認できます。

金融・リスク管理

資産収益率が正規分布に従うと仮定したVaR（バリュー・アット・リスク）計算に活用します。99%VaR はz=-2.326の下側確率に相当します。

偏差値との関係は？

偏差値 = z値 × 10 + 50 で変換できます。μ=50・σ=10に設定すると偏差値計算として使えます。偏差値70はz=2.0に相当し、上位約2.3%です。

上側確率と片側検定p値の関係は？

片側検定（右側検定）のp値はz値の上側確率です。z=1.645のとき上側確率≈5%、z=1.960のとき上側確率≈2.5%（両側検定5%有意水準の境界値）です。

計算精度はどのくらいですか？

Abramowitz & Stegun（1964）の近似式（最大誤差 ≤ 1.5×10⁻⁷）を使用しています。統計実務で必要な精度（小数点以下6桁）は十分に確保されています。

z値が3以上の場合も計算できますか？

計算は可能ですが、z=4のとき確率は約0.0032%と非常に小さくなります。グラフの視認性が下がるため、z値の絶対値が4を超える場合は参考値としてご利用ください。

区間確率でa＞bを入力するとどうなりますか？

a＞bの場合は自動的にa・bを入れ替えて計算します（エラーにはなりません）。

標準偏差σに負の値や0を入力するとどうなりますか？

σは正の値である必要があるため、0以下の値を入力するとエラーメッセージが表示され計算は実行されません。

このツールはオフラインでも使えますか？

一度ページを読み込めばグラフ表示（Chart.js）以外はオフラインでも動作します。計算ロジックはすべてブラウザ内で実行されます。

• Abramowitz, M. & Stegun, I.A. (1964). Handbook of Mathematical Functions. — erf近似式 (7.1.26) の出典
• 正規分布の累積分布関数はerfc近似（最大誤差 ≤ 1.5×10⁻⁷）で計算しています

免責事項：本ツールの計算結果は参考値です。学術研究・金融業務・医療判断などの重要な用途では専門ソフトウェアや専門家にご確認ください。計算結果の正確性について当サイトは一切の責任を負いません。